RESUME MODUL MATEMATIKA PPG DALAM JABATAN 2018

RESUME

MODUL MATEMATIKA

1. Menentukan jenis-jenis bilangan

2. Menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari beberapa bilangan

3. Konsep himpunan

a. Menjelaskan definisi himpunan

b. Menjelaskan definisi himpunan kosong

c. Menjelaskan operasi pada himpunan

4. Konsep fungsi

a. Menjelaskan definisi fungsi

b. Menjelaskan beberapa macam fungsi

5. Menjelaskan konsep fungsi linier

6. Menjelaskan konsep persamaan linier

7. Menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel

8. Menentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat

9. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier

10. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat

Pokok Materi

1. Bilangan

2. Aljabar

a. Himpunan

b. Fungsi

c. Fungsi linier

d. Persamaan linier

e. Sistem persamaan linier dua variabel

f. Persamaaan kuadrat

g. Pertidaksamaan linier

h. Pertidaksamaan kuadrat

A. Bilangan

Bilangan termasuk objek matematika yang digunakan untuk perhitungan, pengukuran, dan pelabelan. Bilangan merupakan istilah yang tidak didefinisikan (undefined term). Simbol atau lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut angka. Contoh angka (digit) adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9.

Berikut ini adalah hal-hal yang perlu diperhatikan dalam operasi hitung pada bilangan:

1. Penjumlahan dan pengurangan berada pada tingkat yang sama.

2. Perkalian dan pembagian berada pada tingkat yang sama.

3. Operasi perkalian dan pembagian lebih tinggi tingkatannya daripada operasi penjumlahan dan pengurangan sehingga harus dikerjakan terlebih dahulu.

4. Apabila terdapat operasi hitung campuran setingkat, maka yang harus dikerjakan terlebih dahulu adalah yang terletak sebelah kiri.

5. Apabila dalam operasi hitung campuran terdapat tanda kurung, maka yang terlebih dahulu dikerjakan adalah operasi hitung yang terletak pada tanda kurung.

Bilangan terkecil yang merupakan kelipatan dari beberapa bilangan disebut Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK).

Bilangan terbesar pada faktor persekutuan beberapa bilangan disebut Faktor Persekutuan Terbesar (FPB).

Contoh: Tentukan FPB dan KPK dari 18 dan 24!

Penyelesaian:

Faktor-faktor dari 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Faktor-faktor dari 24 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Faktor-faktor persekutuan dari 18 dan 24 adalah 1, 2, 3, 6.

Dengan demikian, FPB dari 18 dan 24 adalah 6.

Kelipatan 18 adalah 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, …

Kelipatan 24 adalah 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, …

Kelipatan persekutuan dari 18 dan 24 adalah 72, 144, 216, …

Dengan demikian, KPK dari 18 dan 24 adalah 72.

B. Aljabar

1. HIMPUNAN

Definisi: Suatu himpunan adalah suatu kumpulan objek yang terdefinisi dengan baik. Dari definisi di atas, hal yang perlu ditekankan adalah kata-kata terdefinisi dengan baik. Maksud dari kata-kata tersebut adalah bahwa ketika kita akan menentukan apakah suatu kumpulan objek disebut himpunan atau tidak, dapat terlihat dengan mudah bahwaanggota-anggotanya (disebut juga elemen atau unsur) termasuk dalam himpunan itu atau tidak. Untuk penulisan himpunan itu sendiri sebenarnya ada beberapa metode untuk menuliskannya. Namun, dalam modul ini hanya akan memakai metode mendaftar semua anggotanya di antara dua tanda kurung kurawal dan masing-masing anggotanya dipisahkan oleh tanda koma. Untuk penamaan himpunan biasanya digunakan huruf besar(huruf kapital) sedangkan untuk penamaan anggotanya digunakan huruf kecil. Misalnya jika 𝑥 adalah anggota dari himpunan 𝑋, maka kita tuliskan sebagai 𝑥 ∈ 𝑋. Namun jika 𝑥 bukan anggota dari himpunan 𝑋, maka kita tuliskan sebagai 𝑥 ∉ 𝑋.

Contoh:

1) Suatu himpunan yang memuat bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 dituliskan sebagai {1,2,3,4,5,6}.

2) Himpunan {1,6, {mawar}, {3,4,5}} terdiri dari empat anggota, yaitu bilangan 1, bilangan 6, {mawar}, dan {3,4,5}.

Dalam hal contoh himpunan bilangan, berikut akan diberikan beberapa contoh himpunan bilangan yang sering digunakan.

1) Himpunan bilangan asli, ℕ = {1,2,3, 4 … }

2) Himpunan bilangan cacah ditulis {0,1,2,3,4 … }

3) Himpunan bilangan bulat, ℤ = {… , −3, −2, −1,0,1,2,3, … }

4) Himpunan bilangan rasional (ℚ) adalah himpunan semua bilangan yang berbentuk

𝑝 𝑞 dengan 𝑝 dan 𝑞 adalah bilangan bulat, serta 𝑞 ≠ 0. Contoh bilangan rasional, yaitu 1 2, 3, dan 26 7. 2,75 juga termasuk bilangan rasional. Contoh lainnya, yaitu bilangan desimal berulang seperti 2,3535353535… .

5) Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan bukan rasional. Contohnya, √3 dan π.

6) Himpunan bilangan real (ℝ) merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional. Suatu bilangan rasional dapat direpresentasikan ke dalam bilangan desimal di mana pola bilangan di belakang koma berulang mengikuti suatu pola, sedangkan bilangan irasional tidaklah demikian.

7) Himpunan bilangan kompleks, ℂ = {𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 | 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ} dengan

𝑖 = √−1.

Selain contoh himpunan di atas, dikenal pula himpunan kosong (empty set) yang didefinisikan sebagai berikut.

Definisi: Suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan kosong dan dinotasikan dengan ∅ atau {}.

Untuk memperjelas pemahaman kita mengenai himpunan kosong ada baiknya kita pahami penjelasan berikut.

{∅} adalah himpunan yang memuat himpunan kosong. Himpunan ini hanya mempunyai satu anggota. Perhatikan bahwa kita boleh menuliskan ∅ ∈ {∅}, namun tidak benar bahwa ∅ ∈ ∅.

Selanjutnya, kita akan belajar mengenai relasi dua himpunan dan belajar mengenai kardinalitas (banyaknya anggota) suatu himpunan.

Definisi: Dua himpunan dikatakan sama jika keduanya memiliki anggota-anggota yang sama. Jika himpunan 𝑋 sama dengan himpunan 𝑌, maka kita tuliskan 𝑋 = 𝑌. Jika kedua himpunan tersebut tidak sama, maka dituliskan 𝑋 ≠ 𝑌.

Sebagai ilustrasi, perhatikan contoh berikut.

Himpunan {5,7,8} sama dengan himpunan {7,8,5}.2) Himpunan ℝ tidak sama dengan himpunan ℕ, yakni ℝ ≠ ℕ.

Definisi: Jika himpunan 𝑋 memiliki anggota yang berhingga banyaknya, maka dikatakan bahwa 𝑋 adalah himpunan hingga. Jika 𝑋 himpunan hingga, maka banyaknya anggotanya disebut sebagai kardinalitas dari 𝑿 dan dinotasikan dengan |𝑋|.

Sebagai contoh, himpunan {2, 3, 5, 7} memiliki kardinalitas 4. Jadi,

|𝑋| = 4.

Selanjutnya kita akan membahas dua relasi yang penting antardua himpunan, yakni subset dan proper subset.

Definisi: Misalkan 𝑋 suatu himpunan. Suatu himpunan 𝑌 dikatakan himpunan bagian (subset) dari 𝑋 jika setiap anggota dari 𝑌 adalah anggota dari 𝑋 dan dinotasikan sebagai 𝑌 ⊆ 𝑋. Suatu subset 𝑌 dari 𝑋 dikatakan proper subset dari 𝑋 jika 𝑌 ≠ 𝑋 dan dinotasikan sebagai 𝑌 ⊂ 𝑋.

Untuk memperdalam pemahaman kita mengenai subset dan proper

subset, marilah kita pahami contoh berikut.

1) Himpunan 𝑌 = {1, 2, 3} adalah subset dari himpunan 𝑋 = {1,2,3, {3,4}}, namun himpunan {1,2,3} bukan subset dari himpunan {2,3,4} atau {2,3}.

2) Himpunan {1,2,5} adalah proper subset dari {−6,0,1,2,3,5}. Namun

untuk sebarang himpunan 𝑋, himpunan bagian 𝑋 bukanlah proper subset dari 𝑋

Selanjutnya untuk pembahasan operasi pada himpunan, pada modul ini dibatasi pada operasi gabungan (union), irisan (intersection), selisih (difference), komplemen (complement), dan perkalian.

Definisi: Misalkan 𝑋 dan 𝑌 adalah himpunan.

1) Gabungan dari 𝑋dan 𝑌, dinotasikan 𝑋 ∪ 𝑌, adalah suatu himpunan yang terdiri dari anggota-anggota di 𝑋 atau di 𝑌, atau di keduanya, yakni 𝑋 ∪ 𝑌 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝑋 atau 𝑦 ∈ 𝑌}.

2) Irisan dari 𝑋 dan 𝑌, dinotasikan 𝑋 ∩ 𝑌, adalah suatu himpunan yang terdiri dari anggota-anggota 𝑋 dan anggota-anggota 𝑌, yakni 𝑋 ∩

𝑌 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝑋 dan 𝑦 ∈ 𝑌}.3) Selisih dari 𝑋 dan 𝑌, dinotasikan 𝑋\𝑌, adalah himpunan unsur-unsur (anggota) yang berada di 𝑋 namun tidak berada di 𝑌. Dengan kata lain kita membuang unsur-unsur 𝑌 yang berada di 𝑋. Jika 𝑌 subset

dari 𝑋, maka 𝑋\𝑌 disebut juga sebagai komplemen dari 𝑌 di 𝑋 dan dinotasikan sebagai 𝑌𝑐 .

4) Perkalian dari 𝑋 dan 𝑌, dinotasikan 𝑋 × 𝑌, adalah himpunan semua pasangan (𝑥, 𝑦) yang mungkin di mana 𝑥 ∈ 𝑋 dan 𝑦 ∈ 𝑌, yakni 𝑋 × 𝑌 = {(𝑥, 𝑦)| 𝑥 ∈ 𝑋 dan 𝑦 ∈ 𝑌}.

Selanjutnya, untuk memperdalam pemahaman kita mengenai gabungan, irisan, subset, proper subset, selisih, komplemen, dan perkalian pada himpunan, perhatikan contoh-contoh berikut.

Misalkan 𝑆 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, 𝐴 = {1,2,6}, dan 𝐵 = {2,3,7}. Maka

1) Gabungan dari 𝐴 dan 𝐵 adalah 𝐴 ∪ 𝐵 = {1,2,3,6,7},

2) Irisan dari 𝐴 dan 𝐵 adalah 𝐴 ∩ 𝐵 = {2},

3) Selisih dari 𝐴 dan 𝐵 adalah 𝐴\𝐵 = {1,6},

4) Komplemen dari 𝐴 adalah 𝐴𝑐 = {3,4,5,7,8,9,10},

5) Perkalian dari 𝐴 dan 𝐵 adalah 𝐴 × 𝐵 = {(1,2), (1,3), (1,7), (2,2), (2,3), (2,7), (6,2), (6,3), (6,7)}.

2. FUNGSI

Setelah Anda mempelajari materi konsep dasar himpunan, maka selanjutnya muncul pertanyaan: “Jika kita mempunyai dua himpunan tak kosong, dapatkah kita mendefinisikan relasi antar keduanya?”.

Jawabannya adalah dapat. Perhatikan dan pahami dengan saksama

definisi fungsi atau pemetaan berikut.

Definisi: Misalkan 𝐴 dan 𝐵 adalah himpunan. Sebuah fungsi atau pemetaan dari 𝐴 ke B adalah suatu hubungan (asosiasi) antar anggota dari dua himpunan tersebut. Lebih tepatnya yaitu untuk setiap anggota dari 𝐴 terdapat tepat satu anggota dari 𝐵.

Jika 𝑓 suatu fungsi dari 𝐴 ke B, maka dapat dituliskan 𝑓: 𝐴 → 𝐵.

Himpunan 𝐴 disebut sebagai domain dari 𝑓 sedangkan himpunan 𝐵

disebut sebagai kodomain dari 𝑓.

1) Misalkan 𝑓: ℤ → ℤ didefinisikan oleh 𝑓(𝑥) = 𝑥2 untuk setiap 𝑥 ∈ ℤ. Perhatikan bahwa ada anggota dari kodomain yang tidak mempunyai pasangan dari domain.

2) Kardinalitas dari suatu himpunan adalah suatu fungsi pada himpunan dari himpunan hingga. Yakni, | |: {Himpunan Hingga} →

{0} ∪ ℕ. Perhatikan bahwa kita memerlukan angka 0 pada kodomain karena himpunan kosong juga merupakan anggota domain.

3) Bentuk 𝑓(𝑥) = 1(𝑥−1)

tidak mendefinisikan suatu fungsi dari ℝ ke ℝ karena 𝑓 tidak terdefinisi untuk 𝑥 = 1.

Selanjutnya, apabila ditanyakan apakah domain alami itu? Domain alami adalah domain terbesar yang membuat suatu fungsi menjadi terdefinisi. Perhatikan contoh 3) di atas. Agar 𝑓 merupakan suatu fungsi, maka harus ada pembatasan (restriksi) pada domain, yakni

ℝ diretsriksi menjadi 𝑋 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≠ 1}.

A. Beberapa Macam Fungsi

1. Fungsi Konstan

Definisi:

Misal 𝐴 dan 𝐵 adalah sebarang himpunan. Misal 𝑓 adalah suatu fungsi dari himpunan 𝐴 ke himpunan 𝐵 atau 𝑓: 𝐴 → 𝐵. Jika setiap anggota himpunan 𝐴 dipasangkan pada hanya satu anggota himpunan 𝐵, dengan kata lain range mempunyai satu anggota atau 𝑅𝑓 = {𝑐} dengan 𝑐 ∈ 𝐵, dengan kata lain 𝑓(𝑥) = 𝑐, ∀𝑥 ∈ 𝐴 maka fungsi 𝑓 disebut fungsi konstan.

2. Fungsi Identitas

Definisi:

Misalkan 𝐴 adalah sebarang himpunan. Misal 𝑓 adalah fungsi dari himpunan 𝐴 ke 𝐴 atau 𝑓: 𝐴 → 𝐴. Jika setiap anggota himpunan 𝐴 dipasangkan oleh 𝑓 kepada dirinya sendiri, dengan kata lain 𝑓(𝑥) = 𝑥,

∀𝑥 ∈ 𝐴, maka fungsi 𝑓 disebut fungsi identitas.

1. Terdapat beragam jenis bilangan, yaitu bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan irasional, bilangan real, dan bilangan kompleks. Ada juga bilangan pecahan, bilangan desimal, bilangan prima, dan bilangan komposit.

2. Misalkan 𝐴 dan 𝐵 adalah himpunan. Sebuah fungsi atau pemetaan dari 𝐴 ke B adalah suatu hubungan (asosiasi) antar anggota dari dua himpunan tersebut. Lebih tepatnya yaitu untuk setiap anggota dari 𝐴 terdapat tepat satu anggota dari 𝐵. Jika 𝑓 suatu fungsi dari 𝐴 ke B, maka dapat dituliskan 𝑓: 𝐴 → 𝐵. Himpunan 𝐴 disebut sebagai domain dari 𝑓 sedangkan himpunan 𝐵 disebut sebagai kodomain dari 𝑓.

3. Suatu fungsi 𝑓(𝑥) disebut fungsi linier apabila fungsi itu ditentukan oleh 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, dimana 𝑎 ≠ 0, 𝑎 dan 𝑏 bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus.

4. Persaman adalah kalimat terbuka yang mengandung hubungan (relasi) sama dengan. Sedangkan persamaan linier adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah satu atau berderajat satu. Bentuk umum: 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0; 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0.

5. Bentuk umum sistem persamaan linier dua variabel: (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 0) ( 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 = 0)

6. Bentuk umum persamaan kuadrat: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0; 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ; 𝑎 ≠ 0.

Untuk mencari penyelesaian persamaan kuadrat bisa dengan cara memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus ABC.

7. Bentuk umum pertidaksamaan linier: 𝑎𝑥 + 𝑏(𝑅)0; 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0

dengan (𝑅) = salah satu relasi pertidaksamaan (<, >, ≤, ≥)

8. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑅)0; 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈

ℝ; 𝑎 ≠ 0 dengan (𝑅) = salah satu relasi pertidaksamaan (<, >, ≤, ≥)

Share on: Facebook Twitter Google+ Linkedin Technorati Digg LintasMe

Related Articles :